Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$．
（I）證明：對任意實數(shù)a，存在（α，β），α＜β，使得函數(shù)f（x）在（α，β）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若方程f（x）=x-1有三個不同實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)h（x）=-x²-2ax+2-2a，再求導(dǎo)，可得f′（x）≥0或f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間，問得以證明．
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的定義域為R，方程f（x）=x-1即為a=（x-1）（x²+2x+2）-x=x³+x²-x-2，令g（x）=x³+x²-x-2，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，極值，由題意可得a介于極小值和極大值之間

解答 解：（Ⅰ）：∵f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-2ax+2-2a}{（{x}^{2}+2x+2）^{2}}$，
設(shè)h（x）=-x²-2ax+2-2a，
∴h′（x）=-2x-2a，
∴h′（x）∈（-∞，+∞），
∴f′（x）≥0或f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間，
故對任意實數(shù)a，存在（α，β），α＜β，使得函數(shù)f（x）在（α，β）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）由于x²+2x+2＞0恒成立，則f（x）的定義域為R，
由函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+2x+2}$．
方程f（x）=x-1即為
a=（x-1）（x²+2x+2）-x=x³+x²-x-2，
令g（x）=x³+x²-x-2，
則g′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令g′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-1，
令g′（x）＜0可得-1＜x＜$\frac{1}{3}$．
即有g(shù)（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），（$\frac{1}{3}$，+∞），
減區(qū)間為（-1，$\frac{1}{3}$），
則g（x）的極小值為g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{59}{27}$，
極大值為g（-1）=-1．
方程f（x）=x-1有三個不同實數(shù)根，
即為直線y=a和函數(shù)y=g（x）有三個交點．
可得a的取值范圍是（-$\frac{59}{27}$，-1）

點評 本題考查方程的根的個數(shù)，運用參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，考查函數(shù)的極值求法，屬于中檔題．