Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin（θ+$\frac{5π}{6}$）．
（I）求曲線C₁的普通方程，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P，Q分別在曲線C₁、C₂上，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）使用加減消元法消去參數(shù)t得出C₁的普通方程，將C₂的極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，按兩角和的正弦公式展開(kāi)，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出直角坐標(biāo)方程；
（II）求出圓心到直線的距離，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出|PQ|的最小值即可．

解答 解：（I）曲線C₁的普通方程為：$\sqrt{3}$x+y-4$\sqrt{3}$=0，
∵ρ=2sin（θ+$\frac{5π}{6}$）=-$\sqrt{3}$sinθ+cosθ，
∴ρ²=-$\sqrt{3}$ρsinθ+ρcosθ，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²+$\sqrt{3}$y-x=0．
（II）曲線C₂的圓心為（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半徑r=1．
∴圓心到直線C₁的距離d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-4\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＞r．
∴直線C₁與圓C₂相離．
∴|PQ|的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}-1$，
∴|PQ|的取值范圍是[$\frac{3\sqrt{3}}{2}-1$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．