Question

15．己知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），A、B是曲線C上兩點，O為坐標原點，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
（1）求證：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值．
（2）求$\overrightarrow{|AB|}$的最小值，并以直角坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，在此極坐標系中，求AB所在直線的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C的極坐標方程，由OA⊥OB可設A（ρ₁，θ），B（ρ₂，$θ+\frac{π}{2}$），代入極坐標方程化簡即可；
（2）利用極坐標方程計算）|$\overrightarrow{AB}$|²=|OA|²+|OB|²，根據(jù)三角函數(shù)的性質求出最小值，根據(jù)A，B的極坐標得出AB的極坐標方程．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∴曲線C的極坐標方程為：ρ²=$\frac{36}{4co{s}^{2}θ+9si{n}^{2}θ}$，即$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{9}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴OA⊥OB．
設A（ρ₁，θ），則B（ρ₂，$θ+\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{9}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$+$\frac{co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{9}$+$\frac{si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}$=$\frac{1}{9}+\frac{1}{4}$=$\frac{13}{36}$．
∴$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值．
（2）|$\overrightarrow{AB}$|²=|OA|²+|OB|²=$\frac{36}{4co{s}^{2}θ+9si{n}^{2}θ}$+$\frac{36}{4si{n}^{2}θ+9co{s}^{2}θ}$=$\frac{36×13}{36（si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ）^{2}+25si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$=$\frac{36×13}{36+\frac{25}{4}si{n}^{2}2θ}$．
∴當sin²2θ=1時，|$\overrightarrow{AB}$|²取得最小值$\frac{36×13}{36+\frac{25}{4}}$=$\frac{144}{13}$．
∴|$\overrightarrow{AB}$|的最小值為$\frac{12}{\sqrt{13}}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$．
此時，sin²2θ=1，∴2θ=$±\frac{π}{2}$+2kπ，∴θ=±$\frac{π}{4}$+kπ．
∴A（$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$，±$\frac{π}{4}$），B（$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$，±$\frac{π}{4}+\frac{π}{2}$）．
∴AB的方程為y=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$或x=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$．
∴AB的極坐標方程為ρsinθ=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$或ρcosθ=±$\frac{6}{\sqrt{13}}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉化，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．