Question

給出下列四個命題：
①2 log

1

2

3=-3；
②若函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}，則a＜-1；
③已知x∈（0，π），則y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

；
④已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b成等差數(shù)列，b、y、c也成等差數(shù)列，則

a

x

+

c

y

的值等于2．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由對數(shù)恒等式，即可判斷①；由ax+1＞0得到{x|x＜1}，即a+1=0，即可判斷②；
令sinx=t∈（0，1]，則y=t+

2

t

，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性求最小值，注意運用基本不等式求最值，驗證等號成立的條件，即可判斷③；
運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，注意消去b，化簡即可得到所求的值，即可判斷④．

解答： 解：①2 log

1

2

3=2log2

1

3

=

1

3

，故①錯；
②若函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}，則a+1=0，a=-1．故②錯；
③已知x∈（0，π），令sinx=t∈（0，1]，則y=t+

2

t

，y′=1-

2

t2

＜0，（0，1]為減區(qū)間，
則t=1，取最小值3．故③錯；
④已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b成等差數(shù)列，b、y、c也成等差數(shù)列，則b²=ac，a+b=2x，b+c=2y，
即b=2x-a=2y-c，（2x-a）（2y-c）=ac，化簡得，2xy=ay+cx，即有

a

x

+

c

y

的值等于2，故④對．
故答案為：④

點評：本題考查函數(shù)的定義域和最值，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，以及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題．