Question

10．設(shè)m、a∈R，f（x）=x²+（a-1）x+1，g（x）=mx²+2ax+$\frac{m}{4}$．若命題“對一切實數(shù)f（x）＞0”成立時，命題“對一切實數(shù)x，g（x）＞0”也成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件求出a的取值范圍，對m進行分類，當m=0時，g（x）=2ax，對一切實數(shù)x，g（x）＞0不成立，當m≠0時，△=4a²-m²＜0，即|m|＞2|a||，解得即可．

解答 解：對一切實數(shù)f（x）＞0，f（x）=x²+（a-1）x+1
∴△=（a-1）²-4＜0，
解得-1＜a＜3，
∵g（x）=mx²+2ax+$\frac{m}{4}$，對一切實數(shù)x，g（x）＞0成立，
當m=0時，g（x）=2ax，對一切實數(shù)x，g（x）＞0不成立，
當m≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-{m}^{2}＜0}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
∴|m|≥6，
∴m≥6，
故實數(shù)m的取值范圍[6，+∞）．

點評 本題主要考查命題的真假的判斷和應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．