Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）將函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)分成兩種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)函數(shù)在定義域上遞減，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的最小值小于零，求得的取值范圍，并驗(yàn)證此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由此求得點(diǎn)的取值范圍.

（1）

若，，在上單調(diào)遞減；

若，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.

（2）若，在上單調(diào)遞減，

至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

若，由（1）可知，的最小值為

令，，所以在上單調(diào)遞增，

又，當(dāng)時(shí)，，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)時(shí)，

又因?yàn)?/span>，結(jié)合單調(diào)性可知在有一個(gè)零點(diǎn)

令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，的最小值為，所以

當(dāng)時(shí)，

結(jié)合單調(diào)性可知在有一個(gè)零點(diǎn)

綜上所述，若有兩個(gè)零點(diǎn)，的范圍是