Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x）+1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=|3x-1|-1，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x+a）＜f（x）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先把絕對(duì)值函數(shù)化為分段函數(shù)，再根據(jù)圖象的平移得到函數(shù)f（x）的圖象，觀察函數(shù)的圖象，即可求出a的范圍．

解答： 解：∵x∈[0，1]時(shí)，f（x）=|3x-1|-1，
∴當(dāng)x∈[0，

1

3

]時(shí)，f（x）=-3x，
x∈（

1

3

，1]時(shí)，f（x）=3x-2，
由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致圖形為，如圖所示
由圖可以看出，當(dāng)x=

1

3

時(shí)，即D點(diǎn)．
若a≥0，則f（

1

3

+a）≥f（

1

3

），不滿足題意．所以a＜0．
由圖中知，比D小的為C左邊的區(qū)域，且不能為A點(diǎn)．
C點(diǎn)為f（-

1

3

），此時(shí)a=-

2

3

．
所以a的范圍是（-∞，-

4

3

）∪（-

4

3

，-

2

3

）
故答案為：（-∞，-

4

3

）∪（-

4

3

，-

2

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及含有參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題．