Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M是AC的中點，點N在線段PB上，且∠CAD=30°，PA=AB=4．
（Ⅰ）當(dāng)MN∥平面PDC時，求

PN

NB

的值；
（Ⅱ）當(dāng)N為PB的中點時，求二面角N-AC-P的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）當(dāng)MN∥平面PDC時，由線面平行的性質(zhì)定理可得MN∥PD，進(jìn)而PN：NB=DM：MB，結(jié)合已知可得

PN

NB

的值；
（Ⅱ）以A為原點，直線AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出當(dāng)N為PB的中點時，平面AMN的一個法向量和平面ACP的一個法向量，代入向量公式可得二面角N-AC-P的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵M(jìn)N∥平面PDC，MN?平面PBD，
平面PBD∩平面PDC=PD，
∴MN∥PD，
∴PN：NB=DM：MB，
在等邊△ABC中，M為AC的中點，PA=AB=4
∴BM=2

3

，AM=2，BM⊥AC，
∵∠CAD=30°，
∴DM=

2 3

3

，
∴DM：MB=1：3，
即

PN

NB

=

1

3

，
（II）∵∠BAC=60°，∠CAD=30°，
∴∠BAD=90°，即BA⊥AD，
又由PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
以A為原點，直線AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（0，0，4），B（4，0，0），N（2，0，2），
∴

AN

=（2，0，2），
過M作ME垂直AB于點E，MF垂直AD于點F，則ME=

3

，MF=1，
∴M（1，

3

，0），
∴

AM

=（1，

3

，0），
設(shè)平面AMN的一個法向量

.

m

=（x，y，z），
則

2x+2z=0 x+ 3 y=0

，令x=3，則

.

m

=（3，-

3

，-3），
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BM，
∵BM⊥AC，AC，PA?平面ACP，AC∩PA=A，
∴BM⊥平面ACP，

MB

=（3，-

3

，0）為平面ACP的一個法向量，
設(shè)二面角N-AC-P的平面角為θ，
則cosθ=

| m • MB |

| m |•| MB |

=

12

21 • 12

=

2 7

7

即二面角N-AC-P的余弦值為：

2 7

7

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合體，直線與平面平行的性質(zhì)，綜合性質(zhì)強(qiáng)，難度中檔．