Question

13．函數(shù)f（x）=xlnx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象在直線y=-x圖象的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：ln（2×3×…×2015）${\;}^{\frac{1}{1008}}$＜2015．

Answer 1

分析 （I）求出函數(shù)定義域，f′（x），由f（x）在x=1處取得極值，得f′（1）=0，由此可得a值，然后代入驗證；
（II）因為函數(shù)f（x）的圖象在直線y=-x圖象的下方，所以xlnx-ax²-x＜-x，即xlnx-ax²＜0恒成立，分離參數(shù)a后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可；
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=$\frac{1}{e}$，所以$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，從而有l(wèi)nx≤$\frac{x}{e}$＜x，即lnx＜x，據(jù)此不等式可得ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2013＜2013，對各式累加，再運用對數(shù)運算法則即可證明．

解答 解：（I）函數(shù)定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx-2ax，
因為f（x）在x=1處取得極值，
所以f′（1）=0，即-2a=0，解得a=0，．
所以f′（x）=lnx，
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在x=1處取得極值．
所以a=0．
（II）由題意，得xlnx-ax²-x＜-x，即xlnx-ax²＜0恒成立，
因為x∈（0，+∞），所以a＞$\frac{lnx}{x}$，
設h（x）=$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，得0＜x＜e，所以h（x）在（0，e）上為增函數(shù)；
令h′（x）＜0，得x＞e，所以h（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)；
所以h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}$，
所以a＞$\frac{1}{e}$；
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=$\frac{1}{e}$，所以$\frac{lnx}{x}$≤$\frac{1}{e}$，所以lnx≤$\frac{x}{e}$＜x，即lnx＜x，
所以ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2015＜2015，
以上各式相加，得ln1+ln2+ln3+…+ln2015＜1+2+3+…+2015，
所以ln（1×2×3×…×2015）＜$\frac{2015（1+2015）}{2}$=2015×1008，即$\frac{1}{1008}$•ln（1×2×3×…×2015）＜2015，
所以ln（2×3×…×2015）$\frac{1}{1008}$＜2015．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值、極值，考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值解決，而不等式的證明常借助前面結(jié)論，如最值等．