Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為正方形的長(zhǎng)方體，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，點(diǎn)P是AD₁的中點(diǎn)，求異面直線AA₁與B₁P所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥A₁D₁，垂足為E，連結(jié)B₁E，則PE∥AA₁，找到平面角，解Rt△B₁PE即可．

解答： 解：（1）解法一：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥A₁D₁，垂足為E，連結(jié)B₁E（如圖），則PE∥AA₁，
∴∠B₁PE是異面直線AA₁與B₁P所成的角．       （3分）
在 Rt△AA₁D₁中∵∠AD₁A₁=60°，∴∠A₁AD₁=30°，
A1B1=A1D1=

1

2

AD1=2，A1E=

1

2

A1D1=1，
∴B1E=

B1A12+A1E2

=

5

．又PE=

1

2

AA1=

3

．（8分）
∴在 Rt△B₁PE中，tan∠B1PE=

B1E

PE

=

5

3

=

15

3

（10分）
∴異面直線AA₁與B₁P所成的角為arctan

15

3

．   （12分）
解法二：以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)
系如圖所示，則A₁（0，0，0），A(0，0，2

3

)，B₁（2，0，0），P(0，1，

3

)（4分）
∴

A1A

=(0，0，2

3

)，

B1P

=(-2，1，

3

)（8分）
∴cos＜

A1A

，

B1P

＞=

A1A • B1P

| A1A| •| B1P|

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．（10分）
∴異面直線AA₁與B₁P所成的角為arccos

6

4

． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了異面直線所成的角的求法，方法一利用將空間角轉(zhuǎn)化為平面角，利用解三角形求之；方法二利用空間向量，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積求之．