Question

已知△ABC的兩頂點(diǎn)A、B分別是雙曲線2x²-2y²=1的左、右焦點(diǎn)，且sinC是sinA，sinB的等差中項(xiàng)．
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡T的方程；
（2）設(shè)P（-2，0），過(guò)點(diǎn)E（-

2

7

，0）作直線l交軌跡T于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)∠MPN的大小是否為定值？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,解三角形,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由條件可得|BC|+|AC|=2|AB|=4，根據(jù)橢圓的定義，即可求得點(diǎn)C的軌跡T的方程；
（2）設(shè)直線MN的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和向量知識(shí)，即可證得PM⊥PN．

解答： 解：（1）由條件知雙曲線2x²-2y²=1的左、右焦點(diǎn)A （-1，0 ），B （1，0 ），
且sinA+sinB=2sinC，∴|BC|+|AC|=2|AB|=4，
∴點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4的橢圓（不包括x軸上兩點(diǎn)）．
∴點(diǎn)C的軌跡T的方程是

x2

4

+

y2

3

=1 （x≠±2）；
（2）設(shè)M （x₁，y₁）、N （x₂，y₂），直線MN：x=my+b，
由

x=my+b 3x2+4y2=12

，得 （3m²+4）y²+6mby+3b²-12=0，
∴y₁+y₂=-

6mb

4+3m2

，y₁y₂=

3b2-12

4+3m2

，
∵

PM

=（x₁+2，y₁），

PN

=（x₂+2，y₂）
∴

PM

•

PN

=（ x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（my₁+b+2 ） （my₂+b+2）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m （b+2）（y₁+y₂）+（b+2）²，
=（m²+1）•

3b2-12

4+3m2

+m （b+2）•（-

6mb

4+3m2

）+（b+2）²，
由于直線l過(guò)點(diǎn)E（-

2

7

，0），則b=-

2

7

，代入上式，化簡(jiǎn)即可得到

PM

•

PN

=0，
則∠MPN的大小為定值，且為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．