Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）寫出直線l及曲線C的直角坐標(biāo)方程
（2）過點(diǎn)M平行于直線l的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程，并說明軌跡是什么圖形．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化，直接寫出直線l的普通方程，消去參數(shù)可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）以及平行于直線l的直線參數(shù)方程，直線l與曲線C聯(lián)立方程組，通過|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，即可求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程．通過兩個(gè)交點(diǎn)推出軌跡方程的范圍．

解答 解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，且經(jīng)過原點(diǎn)，
故直線的直角坐標(biāo)方程為y=x，
∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）及過點(diǎn)M的直線為l₁：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\\{y={y}_{0}+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$，
由直線l₁與曲線C相交可得：$\frac{3{t}^{2}}{2}$+$\sqrt{2}t{x}_{0}+2\sqrt{2}t{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2=0$，
∵|MA|•|MB|=$\frac{8}{3}$，
∴|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}-2}{\frac{3}{2}}$|=$\frac{8}{3}$，即：${{x}_{0}}^{2}+{{2y}_{0}}^{2}=6$，
∴點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程x²+2y²=6，表示一橢圓．
取y=x+m代入$\frac{{x}^{2}}{2}$得：3x²+4mx+2m²-2=0
由△≥0得-$\sqrt{3}$$≤m≤\sqrt{3}$
故點(diǎn)M的軌跡是橢圓x²+2y²=6夾在平行直線y=x$±\sqrt{3}$之間的兩段�。�

點(diǎn)評(píng) 本題以直線與橢圓的參數(shù)方程為載體，考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，軌跡方程的求法，注意軌跡的范圍的求解，是易錯(cuò)點(diǎn)．