Question

2．求證：連續(xù)n個正整數(shù)的乘積是n!的倍數(shù)．

Answer 1

分析 n個連續(xù)的正整數(shù)之積可表示為：S=k（k+1）（k+2）（k+3）…（k+n-1）=${A}_{k+n-1}^{n}$=${C}_{k+n-1}^{n}$•n!，命題得以證明．

解答 證明：不妨設(shè)這n個連續(xù)的正整數(shù)分別為：
k，k+1，k+2，k+3，…，k+n-1，（k，n∈N^*），
它們的積記為S=k（k+1）（k+2）（k+3）…（k+n-1），
根據(jù)排列數(shù)公式，上式也可以寫成：${A}_{k+n-1}^{n}$，
即S=${A}_{k+n-1}^{n}$，
再根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)之間的關(guān)系式，${A}_{m}^{n}$=${C}_{m}^{n}$•${A}_{n}^{n}$，
因此，${A}_{k+n-1}^{n}$=${C}_{k+n-1}^{n}$•${A}_{n}^{n}$，
所以，S=${A}_{k+n-1}^{n}$=${C}_{k+n-1}^{n}$•${A}_{n}^{n}$=${C}_{k+n-1}^{n}$•n!，
即k（k+1）（k+2）（k+3）…（k+n-1）=M•n!，
其中，M=${C}_{k+n-1}^{n}$∈N^*，
所以，這連續(xù)n個正整數(shù)的乘積是n!的倍數(shù)．

點評 本題主要考查了整數(shù)中的整除問題，運用了構(gòu)造法將問題轉(zhuǎn)化為排列數(shù)與組合數(shù)的計算問題，屬于中檔題．