Question

19．若過點 M（1，0）作直線交拋物線C：y²=x于 A，B兩點，且滿足$\overrightarrow{{A}{M}}=λ\overrightarrow{{M}{B}}$，過 A，B兩點分別作拋物線C的切線l₁，l₂，l₁，l₂的交點為 N．
參考公式：過拋物線y²=2px上任一點（x₀，y₀）作拋物線的切線，則切線方程為yy₀=p（x+x₀）．
（I）求證：點 N在一條定直線上；
（II）若λ∈[4，9]，求直線 MN在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先表示出過點A的切線和過點B的切線，然后兩直線聯(lián)立可求出點N的坐標(biāo)，即可得到點N在定直線x=-1上；
（Ⅱ）根據(jù)$\overrightarrow{{A}{M}}=λ\overrightarrow{{M}{B}}$，可知（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），進而可聯(lián)立方程可求得$\frac{1}{{k}^{2}}$的表達式，進而求得范圍，最后根據(jù)直線MN在y軸的截距，進而可得答案．

解答 解：（I）證明：設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立拋物線的方程，可得ky²-y-k=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得y₁y₂=-1，y₁+y₂=$\frac{1}{k}$，
由點A處的切線的方程為y₁y=$\frac{1}{2}$（x+x₁），
由點B處的切線的方程為y₂y=$\frac{1}{2}$（x+x₂），
且y₁²=x₁，y₂²=x₂，
可得y₁，y₂是關(guān)于t的方程t²-2ty+x=0，
即有y₁y₂=x，
即有x=-1，即為交點N的橫坐標(biāo)，
故點N在一條定直線x=-1上；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$，∴（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），
聯(lián)立可得$\left\{\begin{array}{l}{-{y}_{1}=λ{y}_{2}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{k}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
$\frac{1}{{k}^{2}}$=$\frac{（1-λ）^{2}}{λ}$=$\frac{{λ}^{2}-2λ+1}{λ}$=λ+$\frac{1}{λ}$-2，4≤λ≤9，
∴$\frac{9}{4}$≤$\frac{1}{{k}^{2}}$≤$\frac{64}{9}$即有$\frac{3}{2}$≤$\frac{1}{k}$≤$\frac{8}{3}$或-$\frac{8}{3}$≤$\frac{1}{k}$≤-$\frac{3}{2}$，
由（Ⅰ）可得N（-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）即為（-1，$\frac{1}{2k}$），
直線MN：y=-$\frac{1}{4k}$（x-1）在y軸的截距為$\frac{1}{4k}$，
∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是[$\frac{3}{8}$，$\frac{2}{3}$]∪[-$\frac{2}{3}$，-$\frac{3}{8}$]．

點評 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，涉及了拋物線的性質(zhì)，向量的計算，不等式等知識，屬于中檔題．