Question

18．已知函數(shù)f（x）的圖象是由函數(shù)g（x）=cosx的圖象經(jīng)如下變換得到：先將g（x）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，橫坐標(biāo)不變，再將所得到的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并求其圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）已知關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π）內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β
（i）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（ii）證明：cos（α-β）=$\frac{2m^2}{5}$-1．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得：f（x）=2sinx，從而可求對(duì)稱軸方程．
（2）（i）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)解析式可得f（x）+g（x）=$\sqrt{5}$sin（x+φ）（其中sinφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$），從而可求|$\frac{m}{\sqrt{5}}$|＜1，即可得解．
（ii）由題意可得sin（α+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$，sin（β+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$．當(dāng)1≤m＜$\sqrt{5}$時(shí)，可求α-β=π-2（β+φ），當(dāng)-$\sqrt{5}$＜m＜0時(shí)，可求α-β=3π-2（β+φ），由cos（α-β）=2sin²（β+φ）-1，從而得證．

解答 解：（1）將g（x）=cosx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到y(tǒng)=2cosx的圖象，再將y=2cosx的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=2cos（x-$\frac{π}{2}$）的圖象，故f（x）=2sinx，
從而函數(shù)f（x）=2sinx圖象的對(duì)稱軸方程為x=k$π+\frac{π}{2}$（k∈Z）．
（2）（i）f（x）+g（x）=2sinx+cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{2}{\sqrt{5}}sinx+\frac{1}{\sqrt{5}}cosx$）=$\sqrt{5}$sin（x+φ）（其中sinφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，cosφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$）
依題意，sin（x+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$在區(qū)間[0，2π）內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β，當(dāng)且僅當(dāng)|$\frac{m}{\sqrt{5}}$|＜1，故m的取值范圍是（-$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．
（ii）因?yàn)棣�，β是方�?\sqrt{5}$sin（x+φ）=m在區(qū)間[0，2π）內(nèi)的兩個(gè)不同的解，
所以sin（α+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$，sin（β+φ）=$\frac{m}{\sqrt{5}}$．
當(dāng)1≤m＜$\sqrt{5}$時(shí)，α+β=2（$\frac{π}{2}$-φ），即α-β=π-2（β+φ）；
當(dāng)-$\sqrt{5}$＜m＜1時(shí)，α+β=2（$\frac{3π}{2}$-φ），即α-β=3π-2（β+φ）；
所以cos（α-β）=-cos2（β+φ）=2sin²（β+φ）-1=2（$\frac{m}{\sqrt{5}}$）²-1=$\frac{2{m}^{2}}{5}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想．