Question

15．已知$a=\int_1^{e^2}{\frac{1}{x}dx}$，則二項(xiàng)式$（{x+\frac{1}{x}}）{（{ax-\frac{1}{x}}）^5}$的展開式中常數(shù)項(xiàng)為40．

Answer 1

分析 由定積分公式計(jì)算出a=2，求得（ax-$\frac{1}{x}$）⁵的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)整理，討論r=2，3即可得到所求常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：$a=\int_1^{e^2}{\frac{1}{x}dx}$=lnx|${\;}_{1}^{{e}^{2}}$=lne²-ln1=2，
（ax-$\frac{1}{x}$）⁵的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$（2x）^5-r（-$\frac{1}{x}$）^r=${C}_{5}^{r}$2^5-rx^5-2r（-1）^r，r=0，1，2，…，5
由題意可得5-2r=1，即r=2，可得T₃=${C}_{5}^{2}$2³x=80x，
當(dāng)5-2r=-1，即r=3，可得T₄=${C}_{5}^{3}$2²x=-40x，
則二項(xiàng)式$（{x+\frac{1}{x}}）{（{ax-\frac{1}{x}}）^5}$的展開式中常數(shù)項(xiàng)為80-40=40．
故答案為：40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用：主要是求特定項(xiàng)的系數(shù)，注意運(yùn)用通項(xiàng)公式和分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．