Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：（），其上一點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為4.

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，均在軸的上方），若的面積為4，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義列方程求出，寫(xiě)出拋物線(xiàn)的方程即可；

（2）設(shè)直線(xiàn)：，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合面積公式，列方程求出，即可得解.

解：（Ⅰ）拋物線(xiàn)：（）上一點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為4，

由拋物線(xiàn)的定義，得，解得，

所求拋物線(xiàn)的方程為.

（Ⅱ）由題意知，直線(xiàn)的斜率一定存在.

①當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意.

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率不為0時(shí)，

依題意，設(shè)直線(xiàn)：，

設(shè)點(diǎn)，.

點(diǎn)均在軸的上方，

，，

由（Ⅰ）知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則.

聯(lián)立直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程，即，

消去并整理得.

由，得（因?yàn)?/span>），

且有，，

，

解得或，

又，

，

：，

直線(xiàn)的方程為.