已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex-ax2,當(dāng)a∈(2,3)時,求函數(shù)f(x)在[0,a]上的最大值.
考點:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x(ex-2a),判斷出在[0,ln2a]單調(diào)遞減,[ln2a,a]單調(diào)遞增,判斷求出最值.
解答: 解:∵f(x)=(x-1)ex-ax2,
∴f′(x)=x(ex-2a),
當(dāng)a∈(2,3)時,f′(x)=0,x=0,x=ln2a;
f′(x)>0,x<0,x>ln2a;
f′(x)<0,0<x<ln2a,
∵令m(x)=x-ln2x,
m′(x)=
x-1
x

m′(x)>0,x>1
m′(x)<0,0<x<1
m′(x)=
1-x
x
=0.x=1
∴m(x)min=1-ln2>0
∴x>ln2x
即a>ln2a
∵x∈[0,a],
∴[0,ln2a]單調(diào)遞減,[ln2a,a]單調(diào)遞增,
f(x)min=2a(ln2a-1)-a(ln2a)2,
f(0)=-1,f(a)=(a-1)ea-a3,
∵當(dāng)a∈(2,3)時,
∴f(a)=(a-1)ea-a3>f(0)=-1,
∴函數(shù)f(x)在[0,a]上的最大值(a-1)ea-a3,
點評:本題考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,在閉區(qū)間上的最值,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(1)=0,且在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則xf(x)>0的解集為( 。
A、{x|x<-1或x>1}
B、{x|0<x<1或-1<x<0}
C、{x|0<x<1或x<-1}
D、{x|-1<x<0或x>1}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在三棱錐P-ABC中,∠ABC=90°,PB丄平面ABC,AB=BC=2
2
,PB=2,則點B到平面PAC的距離是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)滿足f(2x)=x,則f(4)=
 
,f(6)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率等于
1
3
,其焦點分別為A、B,C為橢圓上異于長軸端點的任意一點,則在△ABC中,
sinA+sinB
sinC
的值等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是正方形A1B1C1D1、ADD1A1的中心,求證:平面DEF∥平面AB1C.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在原點,離心率為
3
2
,短軸在y軸上且長度大于1,定點A(0,
3
2
)到橢圓C點的最遠距離為
7
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex-ax,g(x)=ax2-1,若a<0,記函數(shù)H(x)=f(x)-g(x)圖象為曲線C,設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),(x1<x2)是曲線C上不同的兩點,直線AB的斜率為k,若存在x0∈(x1,x2),使得H′(x0)=k,試比較
x1+x2
2
與x0的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是( 。
A、
24
5
B、
28
5
C、6
D、5

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