Question

己知,其中常數(shù)．

（1）當時,求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點,求證：；

（3）求證：．

Answer 1

解：函數(shù)的定義域為,

（1）當時,,, …………1分

而在上單調遞增,又,

當時,,則在上單調遞減；

當時,,則在上單調遞增, …………2分

所以有極小值,沒有極大值．  …………3分             

（2）先證明：當恒成立時,有 成立．

若,則顯然成立；…………4分   

若,由得,

令,則,…………5分   

令,由得

在上單調遞增,

又因為,所以在上為負,在上為正,

因此在上遞減,在上遞增,所以,

從而．…………6分 

因而函數(shù)若有兩個零點,則,

所以,

由得,則

,

所以在上單調遞增,

所以,

所以在上單調遞增,

所以,

則,所以,…………8分 

由得,

則,所以,

綜上得． …………9分

（3）由（2）知當時,恒成立,所以,

即,設,則,

當時, ,所以在上單調遞增；

當時,,所以在上單調遞增, …………10分

所以的最大值為,即,因而,…………11分

所以,即．  …………12分

考點：1．用導數(shù)研究函數(shù)的最值和極值；2．零點存在性定理；3．構造函數(shù)證明不等式.