Question

已知點(diǎn)A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（Ⅰ）若α∈[-π，0]，且|

AC

|=|

BC

|，求角α；
（Ⅱ）若α∈[

π

2

，π]，且

AC

⊥

BC

，求

sin2α

2 sin(α- π 4 )-cos2α

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由|

AC

|=|

BC

|，可得（cosα-2）²+sin²α=cos²α+（sinα-2）²，化簡可得sinα=cosα，結(jié)合α∈[-π，0]，可得α的值．
（Ⅱ）由

AB

•

BC

=0，整理求得cosα+sinα、2sinαcosα、sinα-cosα的值，從而求得

sin2α

2 sin(α- π 4 )-cos2α

=

2sinαcosα

(sinα-cosα)[1+(cosα+sinα)]

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2），
再由|

AC

|=|

BC

|，可得（cosα-2）²+sin²α=cos²α+（sinα-2）²，化簡可得sinα=cosα，
又α∈[-π，0]，故α=-

3π

4

．
（Ⅱ）由

AB

•

BC

=0，整理得cosα+sinα=

1

2

，2sinαcosα=-

3

4

，
由于（cosα-sinα）²=（cosα+sinα）²-4sinαcosα=

7

4

，α∈[

π

2

，π]，可得sinα-cosα=

7

2

．
故

sin2α

2 sin(α- π 4 )-cos2α

=

2sinαcosα

(sinα-cosα)[1+(cosα+sinα)]

=

- 3 4

7 2 ×(1+ 1 2 )

=-

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．