Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：（X-3）²+（y-1）²=3相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求圓M關(guān)于直線AF對(duì)稱的圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）圓M的圓心為（3，1），半徑r=

3

，由題意知直線AF的方程為

x

c

+y=1，由直線AF與圓M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由（1）知AF的方程為x+

3

y-

2

=0，設(shè)點(diǎn)M（3，1）關(guān)于直線AF的對(duì)稱點(diǎn)為M′（x₀，y₀），則MM′的中點(diǎn)為（

x0+3

2

，

y0+1

2

），kMM′=

y0-1

x0-3

，由此能求出圓的方程．

解答： 解：（1）圓M的圓心為（3，1），半徑r=

3

，
由題意知A（0，1），F(xiàn)（c，0），c=

a2-1

，
∴直線AF的方程為

x

c

+y=1，
即x+cy-c=0，
由直線AF與圓M相切，得

|3+c-c|

c2+1

=

3

，
解得c²=2，a²=3，b=1，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）由（1）知AF的方程為x+

3

y-

2

=0，
設(shè)點(diǎn)M（3，1）關(guān)于直線AF的對(duì)稱點(diǎn)為M′（x₀，y₀），
則MM′的中點(diǎn)為（

x0+3

2

，

y0+1

2

），kMM′=

y0-1

x0-3

，
∵兩圓關(guān)于直線AF對(duì)稱，
∴

x0+3 2 + 2 2 (y0+1)- 2 =0 y0-1 x0-3 = 2

，
解得x0=1，y0=1-2

2

，
∴所求圓的方程為(x-1)2+(y+2

2

-1)2=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程和圓的方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓和圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．