Question

設f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

；
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的值域；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

考點：余弦定理的應用,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）把函數(shù)解析式第一項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后，再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到f（x）的值域；
（2）把x=B代入第一問化簡后的解析式中，令其值等于1，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，由b，c及cosB的值，利用余弦定理列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos（x+

2

3

π）+2cos²

x

2

=

1

2

cosx-

3

2

sinx+1=cos（x+

π

3

）+1，
∵x∈[0，π]，
∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴cos（x+

π

3

）∈[-1，

1

2

]，
∴f（x）在x∈[0，π]上的值域為[0，

3

2

]；
（2）由f（B）=1 得cos（B+

π

3

）+1=1，即cos（B+

π

3

）=0，即B=

π

6

由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB
即1=a²+3-3a，整理a²-3a+2=0
解得a=1或a=2．

點評：考查利用三角函數(shù)的有界性求值域與利用余弦定理解三角形，屬中檔題，用來訓練答題者熟練三角恒等變形公式與余弦定理．