Question

【題目】已知函數(shù)（）．

　�。�1）若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（2）求證：當時，都有．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析．

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求導，由函數(shù)是單調(diào)函數(shù)可得或在上恒成立，利用分離參數(shù)的方法，當時， ；當時， ，分別求右端的最值或極限值即可；（2）由（1）可知，當時， 在上遞減，根據(jù)單調(diào)性化簡可得成立，利用分析法將所證命題轉化為，構造函數(shù)，求出即可.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，∵，∴，

∵函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，∴或在上恒成立，

①∵，∴，即， ，

令，則，當時， ；當時， ．

則在上遞減， 上遞增，∴，∴；

②∵，∴，即， ，

由①得在上遞減， 上遞增，又， 時，∴；綜上①②可知， 或；

（2）由（1）可知，當時， 在上遞減，∵，

∴，即，∴，

要證，只需證，即證，

令， ，則證，令，則，

∴在上遞減，又，∴，即，得證．