Question

設(shè)數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和為S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根為S_n－1，n＝1，2，3，…．

(Ⅰ)求a₁，a₂；

(Ⅱ)猜想數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1， 　　于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝． 　　當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－， 　　于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝． 　　(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0． 　　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　�、� 　　由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝． 　　由①可得S3＝． 　　由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論． 　　(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立． 　　(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk+1＝，即Sk+1＝， 　　故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立． 　　綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立．