Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+1在x=-1處取得極大值，在x=3處取極小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式并指出其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論方程f（x）=k的實根的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，由條件可知f′（x）=0的兩根分別為x=-1或x=3，運用韋達定理，求得a，b，進而得到f（x）的解析式，求出單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出極值，在同一坐標系內(nèi)分別作y=f（x）和y=k的大致圖象，通過圖象觀察交點個數(shù)，即可得到實根的個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知f′（x）=x²+2ax+b，f′（x）=0的兩根分別為x=-1或x=3．
則有

-1+3=-2a -1×3=b

，解得，a=-1，b=-3．
則f（x）=

1

3

x³-x²-3x+1，
由題意知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），
遞減區(qū)間為（-1，3）．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的分析知，函數(shù)f（x）的極大值為f（-1）=

8

3

，
極小值為f（3）=-8．
在同一坐標系內(nèi)分別作y=f（x）和y=k的大致圖象．
則當k=

8

3

或k=-8時，原方程有且僅有兩個不相等的實數(shù)根；
當k＜-8或k＞

8

3

時，原方程有且僅有一個不相等的實數(shù)根；
當-8＜k＜

8

3

時，原方程有且僅有三個不相等的實數(shù)根．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．