Question

20．如圖，平面ABC⊥平面α，D為線段AB的中點(diǎn)，$|{AB}|=2\sqrt{2}$，∠CDB=45°，點(diǎn)P為面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且P到直線CD的距離為$\sqrt{2}$，則∠APB的最大值為90^°．

Answer 1

分析 空間中到直線CD的距離為$\sqrt{2}$的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓柱面，它和面α相交得一橢圓，所以P在α內(nèi)的軌跡為一個(gè)橢圓，D為橢圓的中心，且c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，a=2．利用橢圓的性質(zhì)：橢圓上點(diǎn)關(guān)于兩焦點(diǎn)的張角在短軸的端點(diǎn)取得最大，即可得出．

解答 解：空間中到直線CD的距離為$\sqrt{2}$的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓柱面，它和面α相交得一橢圓，所以P在α內(nèi)的軌跡為一個(gè)橢圓，D為橢圓的中心，
c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，a=2，
于是A，B為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)關(guān)于兩焦點(diǎn)的張角在短軸的端點(diǎn)取得最大，
∴∠APB=2∠APD=90°．
故答案為：90^°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、距離的計(jì)算、線面垂直判定與性質(zhì)定理、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．