Question

直線l不經過坐標原點O，且與橢圓

x2

2

+y2=1交于A、B兩點，M是線段AB的中點．那么，直線AB與直線OM的斜率之積為（　�。�

• A、-1
• B、1
• C、-

  1

  2

• D、2

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓

x2

2

+y2=1，由點差法得k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

x

2y

，又k_OM=

y

x

，由此能求出直線AB與直線OM的斜率之積．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
∵M是線段AB的中點，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入橢圓

x2

2

+y2=1，
得

x12+2y12=2 x22+2y22=2

，
兩式相減，得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2x（x₁-x₂）+4y（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

x

2y

，
又k_OM=

y

x

，
∴直線AB與直線OM的斜率之積：
k_AB•k_OM=-

x

2y

•

y

x

=-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點評：本題考查兩直線的斜率之積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．