Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2，E為PC的中點，CB=3CG
（Ⅰ）求證：PC⊥BC；
（Ⅱ）求三棱錐C-DEG的體積；
（Ⅲ）AD邊上是否存在一點M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（I）由PD⊥BC，BC⊥CD，推出BC⊥平面PCD，從而證明 PC⊥BC．
（II）由GC是三棱錐G-DEC的高，三棱錐C-DEG的體積和三棱錐G-DEC的體積相等，
通過求三棱錐G-DEC的體積得到三棱錐C-DEG的體積．
（III）連接AC，取AC中點O，連接EO、GO，延長GO交AD于點M，則PA∥平面MEG，由三角形相似可得AM=CG=

2

3

．

解答： （Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC
又∵ABCD是正方形∴BC⊥CD
∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD…（3分）
又∵PC?面PBC
∴PC⊥BC…（4分）
（Ⅱ）解：∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱錐G-DEC的高  …（5分）
∵E是PC的中點，
∴S△EDC=

1

2

S△EDC=

1

2

S△PDC=

1

2

•(

1

2

•2•2)=1…（6分）
∴VC-DEG=VG-DEC=

1

3

GC•S△DEC=

1

3

•

2

3

•1=

2

9

…（8分）
（Ⅲ）解：連結AC，取AC中點O，連結EO，GO，延長GO交AD于點M，則PA∥平面MEG…（9分）
下面證明之
∵E為PC的中點，O是AC的中點，
∴EO∥PA，…（10分）
又∵EO?平面MEG，PA?平面MEG
∴PA∥平面MEG…（11分）
在正方形ABCD中，∵O是AC的中點，∴△OCG≌△OAM，
∴AM=CG=

2

3

，∴所求AM的長為

2

3

．…（12分）

點評：本題主要考查線面平行與垂直關系、多面體體積計算等基礎知識，考查空間想象能、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力、考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．