Question

8．函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+\frac{π}{6}）（A＞0，ω＞0）$的最大值為2，它的最小正周期為2π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=cosx•f（x），求g（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）最小正周期為2π，求出ω．f（x）的最大值2，所以A=2．可得解析式
（Ⅱ）根據(jù)g（x）=cosx•f（x），求出g（x）的解析式，x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+\frac{π}{6}）（A＞0，ω＞0）$，
∵f（x）的最小正周期為2π
∴$\frac{2π}{ω}=2π$，
解得ω=1．
∵f（x）的最大值2，∴A=2．
故得f（x）的解析式為$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$f（x）=2sin（x+\frac{π}{6}）=2sinxcos\frac{π}{6}+2cosxsin\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}sinx+cosx$
那么g（x）=cosx•f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$
∵x∈$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上時(shí)，
可得：$-\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$
于是，當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，g（x）取得最大值為$\frac{3}{2}$；
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$時(shí)，g（x）取得最小值為0．
∴g（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{4}]$上的最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．