Question

4．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ²（3+sin²θ）=12．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，交x軸于點N，點A在x軸的上方，M為弦AB的中點，求|AN|-|BN|+|MN|+|AN|•|BN|．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$（m為參數(shù)），代入橢圓方程，整理可得7m²+6$\sqrt{2}$m-18=0，利用參數(shù)的幾何意義，可得結(jié)論．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為x+y+1=0；
曲線C的極坐標方程為ρ²（3+sin²θ）=12，直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$（m為參數(shù)），代入橢圓方程，整理可得7m²+6$\sqrt{2}$m-18=0，
設A，B對應的參數(shù)為m₁，m₂，則m₁+m₂=-$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，m₁m₂=-$\frac{18}{7}$，
∴M對應的參數(shù)為-$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，∴M（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$），
∵N（-1，0），∴|MN|=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$
∴|AN|-|BN|+|MN|+|AN|•|BN|=$\sqrt{\frac{72}{49}+\frac{72}{7}}$+$\frac{3\sqrt{2}}{7}$+$\frac{18}{7}$=6+$\frac{3\sqrt{2}}{7}$．

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．