【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣m(x+1)ln(x+1)(m>0)的最大值是0,函數(shù)g(x)=x﹣a(x2+2x)(a∈R). (Ⅰ)求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域為(﹣1,+∞), f′(x)=1﹣m[ln(x+1)+1]
因為m>0,所以f′(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞減.
令f′(x)=0,得
當(dāng) 時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng) 時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
所以,當(dāng) 時, =
于是, ,得
易知,函數(shù)y=ex﹣1﹣x在x=1處有唯一零點,所以 ,m=1.
(Ⅱ)令F(x)=f(x)﹣g(x)=a(x2+2x)﹣(x+1)ln(x+1),x≥0
則F′(x)=a(2x+2)﹣[ln(x+1)+1]
設(shè)h(x)=F′(x)=a(2x+2)﹣[ln(x+1)+1]

①當(dāng)a≤0時,h′(x)<0,F(xiàn)′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
則x∈[0,+∞)時,F(xiàn)′(x)≤F′(0)=2a﹣1<0,F(xiàn)(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
故當(dāng)x∈[0,+∞)時,F(xiàn)(x)≤F(0)=0,與已知矛盾.
②當(dāng) 時, ,
當(dāng) 時,h′(x)<0,F(xiàn)′(x)在 上單調(diào)遞減,
時,F(xiàn)′(x)<F′(0)=2a﹣1<0
故F(x)在 上單調(diào)遞減,
則當(dāng) 時,F(xiàn)(x)<F(0)=0,與已知矛盾.
③當(dāng) 時,h′(x)>0,F(xiàn)′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
則x∈[0,+∞)時,F(xiàn)′(x)≥F′(0)=2a﹣1>0
所以F(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
故當(dāng)x∈[0,+∞)時,F(xiàn)(x)≥F(0)=0恒成立.
綜上,實數(shù)a的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最大值,得到關(guān)于m的方程,求出m的值即可;(Ⅱ)令F(x)=f(x)﹣g(x),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合函數(shù)恒成立問題,求出a的范圍即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

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B.
C.
D.

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