Question

18．經(jīng)過(guò)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點(diǎn)F₁作傾斜角為$\frac{π}{6}$的弦AB．求：
（1）線段AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)F₂為右焦點(diǎn)，求△F₂AB的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點(diǎn)的距離公式求出|AB|．
（2）求出|BF₂|，|AF₂|，即可得到△F₂AB的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程可設(shè)為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），代入方程x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得，8x²-4x-13=0，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{13}{8}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=3；
（2）|F₁A|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-（-2）|=$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$
由雙曲線的定義得|BF₂|=|BF₁|-2=|AB|+|AF₁|-2=1+$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$
|AF₂|=|AF₁|+2=2+$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，
∴△F₂AB的周長(zhǎng)為3+3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．解決直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問(wèn)題常將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式．