Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n，且，令S_n=2a_n-2b_n=log₂a_n
（I）試求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$，求證數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n＜2．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的定義即可證明．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），可得：a_n=2a_n-1．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S=2a₁-2，解得a₁=2．
由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）證明：b_n=log₂a_n=n．
${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
以上等式兩邊同乘以$\frac{1}{2}$，得$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．