Question

【題目】二次函數(shù)圖像與軸交于，兩點(diǎn)，交直線于，兩點(diǎn)，經(jīng)過三點(diǎn)，，作圓．

（1）求證：當(dāng)變化時(shí)，圓的圓心在一條定直線上；

（2）求證：圓經(jīng)過除原點(diǎn)外的一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）聯(lián)立，求得點(diǎn)，聯(lián)立與求得點(diǎn)，設(shè)圓C的方程為，根據(jù)點(diǎn)到圓心距離相等求得圓心坐標(biāo)x0與y0的聯(lián)系，消參即可求得定直線

（2）由（1）知，設(shè)圓C過定點(diǎn)（m，n），則m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理成關(guān)于b的一次函數(shù)形式，根據(jù)恒成立問題聯(lián)立方程求解即可

解：（1）在方程中．令，易得

設(shè)圓C的方程為

則，

故經(jīng)過三點(diǎn)O，A，B的圓C的方程為x2+y2+bx+（b﹣2）y=0，

設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），

則，∴y0=x0+1，

這說明當(dāng)b變化時(shí)，（1）中的圓C的圓心在定直線y=x+1上

（2）設(shè)圓C過定點(diǎn)（m，n），則m2+n2+bm+（b﹣2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n2﹣2n=0，

它對(duì)任意b≠0恒成立，∴

故當(dāng)b變化時(shí)，（1）中的圓C經(jīng)過除原點(diǎn)外的一個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1）．