Question

19．設F是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的左焦點，P是C上一點，線段PF過虛軸端點B，且B是線段PF的三等分點，則C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• B． $\sqrt{13}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$或$\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設出P的坐標，根據(jù)B是線段PF的三等分點，建立向量關系，求出P的坐標，利用代入法求出a，c的關系即可得到結論．

解答 解：∵F（-c，0），∴設B（0，b），
B是線段PF的三等分點，
∴$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FP}$或$\overrightarrow{BP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{FP}$，
設P（x，y），
若$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{FP}$，
則（x，y-b）=$\frac{1}{3}$（x+c，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}c}\\{y-b=\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{c}{2}}\\{y=\frac{3b}{2}}\end{array}\right.$，即P（$\frac{c}{2}$，$\frac{3b}{2}$），
∵P（$\frac{c}{2}$，$\frac{3b}{2}$）在雙曲線上，
∴$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{9^{2}}{4^{2}}$=1，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=13，則e²=13，e=$\sqrt{13}$，
或$\overrightarrow{BP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{FP}$，則（x，y-b）=$\frac{2}{3}$（x+c，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}c}\\{y-b=\frac{2}{3}y}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=2c}\\{y=3b}\end{array}\right.$，即P（2c，3b），
∵P（2c，3b）在雙曲線上，
∴$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9^{2}}{^{2}}$=1，
即4•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=10，則e²=$\frac{5}{2}$，e=$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
綜上C的離心率為$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$或$\sqrt{13}$，
故選：C

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，利用點的關系求出B的坐標是解決本題的關鍵．注意要進行分類討論．