Question

10．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=6，a₅+a₇=24，{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=6，a₅+a₇=24，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{2{a}_{1}+10d=24}\end{array}\right.$，解得a₁，d．利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=6，a₅+a₇=24，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{2{a}_{1}+10d=24}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．