Question

下列函數(shù)中既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是

A．               B．

C．                          D．

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

試題分析：四個(gè)選項(xiàng)中都給出了具體的函數(shù)解析式，其中選項(xiàng)D是分段函數(shù)，可由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）知函數(shù)為奇函數(shù)，在分析x＞0時(shí)函數(shù)的增減性，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性進(jìn)一步得到函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的增減性；選項(xiàng)B舉一反例即可； C、A中的兩個(gè)函數(shù)，定義域均不關(guān)于原點(diǎn)對稱，都不是奇函數(shù).根據(jù)題意，由于解：由f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），知函數(shù)f（x）=x|x|為奇函數(shù)，又f（x）=x|x|= x² (x＞0),-x² (x＜0)

當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²在（0，∞）上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，所以當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²在（-∞，0）上也為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=x|x|在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，故A正確．由于正弦函數(shù)是周期性函數(shù)，不滿足定義域內(nèi)增函數(shù)，因此錯(cuò)誤，對于C,A,定義域部關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選D.

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，尤其y=tanx的單調(diào)區(qū)間是解答中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，要注意掌握．