【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的左、右頂點為A，B，右焦點為F.過點A且斜率為k（）的直線交橢圓C于另一點P.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若，求的值；

（3）設(shè)直線l:，延長AP交直線l于點Q，線段BQ的中點為E，求證：點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線PF上.

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

第一問利用離心率的公式直接求解；第二問將直線AP的方程為與橢圓C的方程聯(lián)立求出點P的坐標，再利用兩點間的距離公式即可求出的值；第三問先求出點的坐標，再利用中點坐標公式求出點的坐標，然后求出點P的坐標及直線PF的斜率、直線EF的斜率，最后根據(jù)得出即可證明.

（1）因為橢圓C：，所以，，.又，所以，，所以橢圓C的離心率.

（2）因為直線AP的斜率為，且過橢圓C的左頂點，

所以直線AP的方程為.代入橢圓C的方程，

得，即，解得或（舍去），將代入，得，所以點P的坐標為.又橢圓C的右頂點B（2t,0），

所以，，所以.

（3）直線AP的方程為，將代入，得，所以.因為E為線段BQ的中點，所以，因為焦點F的坐標為（t,0），

所以直線EF的斜率.聯(lián)立消y得，.由于，，所以，所以點P的坐標為，

所以直線PF的斜率.而直線EF的斜率為2k，

若設(shè)，則有，即，

所以點B關(guān)于直線EF的對稱點在直線PF上.

練習冊系列答案
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【題目】已知點、為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且，圓的方程是.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

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（1）求橢圓的方程；

（2）過軸正半軸上一點作斜率為的直線.

①若與圓和橢圓都相切，求實數(shù)的值；

②直線在軸左側(cè)交圓于、兩點，與橢圓交于點、（從上到下依次為、、、），且，求實數(shù)的最大值.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，.

（1）證明：平面；

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（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問x應取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。

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