Question

1．如圖，設M為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）上任意一點，O為原點，過點M作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點，探求平行四邊形MAOB的面積，由此可以發(fā)現(xiàn)什么結論？

Answer 1

分析 設M（m，n）是雙曲線上任一點，求出雙曲線的漸近線方程，由平行線的性質，求得AM 的方程，聯(lián)立直線OA的方程，求得A的坐標，求出|OA|，M點到OA的距離，利用平行四邊形的面積公式可得MAOB的面積，化簡整理，結合點M滿足雙曲線的方程，化簡整理即可得到定值$\frac{1}{2}$ab．

解答 解：雙曲線的漸近線方程是：bx±ay=0，
設M（m，n）是雙曲線上任一點，
過M平行于OB：bx+ay=0的方程是：bx+ay-bm-an=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{bx-ay=0}\\{bx+ay-bm-an=0}\end{array}\right.$，得兩直線交點A（$\frac{bm+an}{2b}$，$\frac{bm+an}{2a}$），
|OA|=$\sqrt{（\frac{bm+an}{2b}）^{2}+（\frac{bm+an}{2a}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{c|bm+an|}{ab}$，
M點到OA的距離是：d=$\frac{|bm-an|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{|bm-an|}{c}$，
可得平行四邊形MAOB的面積為S=|OA|•d=$\frac{1}{2}$•$\frac{c|bm+an|}{ab}$•$\frac{|bm-an|}{c}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{|^{2}{m}^{2}-{a}^{2}{n}^{2}|}{ab}$，
由M在雙曲線上，可得b²m²-a²n²=a²b²，
可得S=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}^{2}^{2}}{ab}$=$\frac{1}{2}$ab，
即有平行四邊形MAOB的面積為定值$\frac{1}{2}$ab．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的運用，同時考查點到直線的距離公式和平行四邊形的面積的計算，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．