Question

19．在數列{a_n}中，a₁=2，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），則a₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通過a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2）代入計算可知a_n=a_n+3，通過2015=671×3+2可知問題轉化為求a₂，進而計算可得結論．

解答 解：∵a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴a_n-1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$（n≥2），
∴a_n=$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{1-\frac{1}{1-{a}_{n+2}}}$
=$\frac{1-{a}_{n+2}}{-{a}_{n+2}}$
=1-$\frac{1}{{a}_{n+2}}$
=1-$\frac{1}{\frac{1}{1-{a}_{n+3}}}$
=1-（1-a_n+3）
=a_n+3，
∵2015=671×3+2，
∴a₂₀₁₅=a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數列的通項，找出周期是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．