Question

16．解下列關(guān)于x的不等式．
（1）（2x+1）（x-3）＞3（x²+2）；
（2）1+x＞$\frac{1}{1-x}$；
（3）（x-2）（ax-2）＞0；
（4）2x-a＜bx+3；
（5）x²-（a+1）x+a＞0；
（6）ax²-2≥2x-ax（a∈R）

Answer 1

分析 按照一元二次不等式的解法步驟進(jìn)行解答即可，對于含有字母系數(shù)的一元二次不等式，應(yīng)討論字母系數(shù)的取值范圍，從而得出不等式的解集．

解答 解：（1）不等式（2x+1）（x-3）＞3（x²+2）可化為
x²+5x+9＞0，
∵△=25-4×9=-11＜0，
∴該不等式的解集為R；
（2）不等式1+x＞$\frac{1}{1-x}$可化為
（1+x）-$\frac{1}{1-x}$＞0，
即$\frac{（1+x）（1-x）-1}{1-x}$＞0，
化簡得$\frac{{x}^{2}}{1-x}$＜0，
即1-x＜0，
解得x＞1，
∴該不等式的解集為{x|x＞1}；
（3）a=0時，原不等式化為-2（x-2）＞0，
解得不等式的解集是{x|x＜2}；
a＞0時，原不等式化為（x-2）（x-$\frac{2}{a}$）＞0，
若0＜a＜1，則2＜$\frac{2}{a}$，
∴不等式的解集為{x|x＜2，或x＞$\frac{2}{a}$}；
a=1時，原不等式化為（x-2）²＞0，
∴不等式的解集為{x|x≠2}；
a＞1時，$\frac{2}{a}$＜2，
不等式的解集為{x|x＜$\frac{2}{a}$，或x＞2}；
a＜0時，原不等式化為（x-2）（x-$\frac{2}{a}$）＜0，
且$\frac{2}{a}$＜2，∴不等式的解集為{x|$\frac{2}{a}$＜x＜2}；
（4）原不等式化為（2-b）x＜a+3，
當(dāng)b=2時，2-b=0，若a＞-3，則a+3＞0，
此時不等式的解集為R，
若a≤-3，則a+3≤0，
此時不等式的解集為∅；
當(dāng)b＜2時，2-b＞0，
此時不等式的解集為{x|x＜$\frac{a+3}{2-b}$}；
當(dāng)b＞2時，2-b＜0，
此時不等式的解集為{x|x＞$\frac{a+3}{2-b}$}；
（5）不等式x²-（a+1）x+a＞0可化為（x-1）（x-a）＞0，
當(dāng)a＞1時，不等式的解集為{x|x＞a，或x＜1}，
當(dāng)a=1時，不等式為（x-1）²＞0，它的解集為{x|x≠1}，
當(dāng)a＜1時，不等式的解集為{x|x＞1，或x＜a}；
（6）不等式ax²-2≥2x-ax可化為（x+1）（ax-2）≥0；
a=0時，原不等式化為-2（x+1）≥0，
解得不等式的解集是{x|x≤-1}；
a＜0時，原不等式化為（x+1）（x-$\frac{2}{a}$）≤0，
若-2＜a＜0，則-1＞$\frac{2}{a}$，
∴不等式的解集為{x|$\frac{2}{a}$≤x＜-1}；
a=-2時，原不等式化為（x+1）²≤0，
∴不等式的解集為{x|x=-1}；
a＜-2時，-1＜$\frac{2}{a}$，
不等式的解集為{x|-1＜x＜$\frac{2}{a}$}；
a＞0時，原不等式化為（x+1）（x-$\frac{2}{a}$）≥0，
且$\frac{2}{a}$＞-1，∴不等式的解集為{x|x≤-1，或x≥$\frac{2}{a}$}．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．