Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+1）=f（1-x）．當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）．

Answer 1

證明：（1）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+1）=f（1-x）
∴f（x）=f（2-x）
∵f（x）為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴f（2-x）=-f（-x）即f（2+x）=-f（x）
∴f（4+x）=f[2+（2+x）]=-f（2+x）=f（x）
∴函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)
（2））∵x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．
當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，可得f（x）=2x+x²
設(shè)x∈[2，4]，則x-4∈[-2，0]
∴f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=f（x）
∴f（x）=x²-6x+8
（3）∵f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）
=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=1