Question

7．已知$sin（{α+\frac{π}{3}}）+sinα=\frac{{9\sqrt{7}}}{14}$，$0＜α＜\frac{π}{3}$．
（1）求sinα的值；
（2）求$cos（2α-\frac{π}{4}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由兩角和的正弦函數化簡已知的等式求出$sin（α+\frac{π}{6}）$，由α的范圍和平方關系求出$cos（α+\frac{π}{6}）$，由角之間的關系和兩角差的正弦函數求出sinα的值；
（2）由（1）和二倍角余弦公式的變形求出cos2α，由兩角差的余弦函數求出答案．

解答 解：（1）由條件得$\frac{3}{2}sinα+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα=\frac{{9\sqrt{7}}}{14}$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，即$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$，
∵$0＜α＜\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴$cos（α+\frac{π}{6}）=\sqrt{1-{{（{\frac{{3\sqrt{21}}}{14}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，
∴$sinα=sin[{（{α+\frac{π}{6}}）-\frac{π}{6}}]=sin（{α+\frac{π}{6}}）cos\frac{π}{6}-cos（{α+\frac{π}{6}}）sin\frac{π}{6}$
=$\frac{{3\sqrt{21}}}{14}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{7}}}{14}×\frac{1}{2}$=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$…（6分）
（2）由（1）得$cos2α=1-2{sin^2}α=1-2×\frac{4}{7}=-\frac{1}{7}$，
又∵$0＜2α＜\frac{2π}{3}$，∴$sin2α=\sqrt{1-{{（{\frac{1}{7}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，
∴$cos（2α-\frac{π}{4}）=cos2αcos\frac{π}{4}+sin2αsin\frac{π}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}（-\frac{1}{7}+\frac{4\sqrt{3}}{7}）=\frac{4\sqrt{6}-\sqrt{2}}{14}$ …（12分）

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數，兩角差的余弦函數，二倍角余弦公式的變形等，以及變角在三角函數求值中的應用，注意角的范圍，考查化簡、計算能力．