已知函數(shù)f(x)的定義域為[0,1]，且同時滿足以下三個條件：①f(1)＝1；②對任意的x∈[0,1]，都有f(x)≥0；③當x≥0，y≥0，x＋y≤1時總有f(x＋y)≥f(x)＋f(y)．

(1)試求f(0)的值；

(2)求f(x)的最大值；

(3)證明：當x∈時，恒有2x≥f(x)．


解：(1)令x∈[0,1]，y＝0，則有f(x)＝f(x＋0)≥f(x)＋f(0)，所以有f(0)≤0，

又根據(jù)條件②可知f(0)≥0，故f(0)＝0.(也可令x＝y＝0)

(2)設(shè)0≤x1<x2≤1，則有f(x2)＝f(x2－x1＋x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)，即f(x)為增函數(shù)，所以f(x)≤f(1)＝1，故f(x)max＝1.

(3)證明：當x∈，有2x≥1，又由(2)可知f(x)≤1，所以有2x≥f(x)對任意的x∈恒成立．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


設(shè)計算法求＋＋＋…＋的值．要求畫出程序框圖，寫出用基本語句編寫的程序．

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設(shè)全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

(1)求(∁IM)∩N；

(2)記集合A＝(∁IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求實數(shù)a的取值范圍．

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函數(shù)y＝的定義域是________

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函數(shù)y＝－(x－3)|x|的遞增區(qū)間是________．

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已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是(　　)

A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)

C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)

D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)

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已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．

(1)求實數(shù)m的值；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

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設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)滿足下列條件：

①當x∈R時， f(x)的最小值為0，且f(x－1)＝f(－x－1)恒成立；

②當x∈(0,5)時，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．

(1)求f(1)的值；

(2)求f(x)的解析式；

(3)求最大的實數(shù)m(m>1)，使得存在實數(shù)t，當x∈[1，m]時， f(x＋t)≤x恒成立．

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 (1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋f′x2－x，求函數(shù)f(x)的圖象在點處的切線方程．

(2)若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．

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