Question

 (1)已知函數(shù)f(x)＝x³＋f′x²－x，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)處的切線方程．

(2)若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y＝x³和y＝ax²＋x－9都相切，求a的值．

Answer 1

解：(1)由f(x)＝x³＋f′x²－x，

可得f′(x)＝3x²＋2f′x－1，

∴f′＝3ײ＋2f′×－1，

解得f′＝－1，即f(x)＝x³－x²－x，

則

故函數(shù)f(x)的圖象在處的切線方程是

即27x＋27y＋4＝0.

(2)設(shè)過(guò)(1,0)的直線與y＝x³相切于點(diǎn)(x₀，x)，

所以切線方程為y－x＝3x(x－x₀)，即y＝3xx－2x，

又(1,0)在切線上，則x₀＝0或x₀＝.

當(dāng)x₀＝0時(shí)，由y＝0與y＝ax²＋x－9相切可得a＝－，

當(dāng)x₀＝時(shí)，由y＝x－與y＝ax²＋x－9相切可得a＝－1，所以a＝－1或a＝－.