Question

2．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{a}{{x}^{2}+1}$的值域為[-1，+∞），則實數(shù)a的值為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)$u=\frac{a}{{x}^{2}+1}$，u＞0，則$f（u）=lo{g}_{\frac{1}{2}}u$是單調(diào)遞減，其值域為[-1，+∞），只需求u的最大值使得f（u）=-1即可得實數(shù)a的值．

解答 解：由題意，設(shè)$u=\frac{a}{{x}^{2}+1}$，u＞0，則$f（u）=lo{g}_{\frac{1}{2}}u$是單調(diào)遞減，其值域為[-1，+∞），
當(dāng)f（u）=-1時，則u=2，即u_max=2．
∵x²+1≥1，
當(dāng)x²+1=1時，
$u=\frac{a}{{x}^{2}+1}$取得最大值為a，
故得a=2．
選擇D

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性以及值域的運用求解參數(shù)問題，屬于函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題，屬于基礎(chǔ)題．