Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx+1
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意a∈（-2，-1）及x∈[1，2]，恒有ma-f（x）＞a²成立，求實(shí)數(shù)m的取值集合．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=2ax+\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），根據(jù)a≥0，a＜0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）原題等價(jià)于ma-a²＞f（x）_max，當(dāng)a∈（-2，-1）時(shí)，f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)m的取值集合．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+lnx+1，
∴${f}^{'}（x）=2ax+\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），
①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上是增函數(shù)；
當(dāng)x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上是減函數(shù)．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上是增函數(shù)，f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上是減函數(shù)．
（2）由題意知對(duì)任意a∈（-2，-1）及x∈[1，2]時(shí)，
恒有ma-f（x）＞a²成立，等價(jià)于ma-a²＞f（x）_max，
∵a∈（-2，-1），∴$\frac{1}{2}＜\sqrt{-\frac{1}{2a}}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜1$，
由（1）知當(dāng)a∈（-2，-1）時(shí)，f（x）在（1，2）上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（1）=a+1，
∴ma-a²＞a+1，即m＜a+$\frac{1}{a}$+1，
∵y=a+$\frac{1}{a}$+1在a∈（-2，-1）上為增函數(shù)，
∴-$\frac{3}{2}＜a+\frac{1}{a}+1＜-1$，
∴實(shí)數(shù)m的取值集合為{m|m$≤-\frac{3}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．