Question

12．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=2，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為150°．
（1）求：|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+3λ$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$），求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和模長公式，計算即可；
（2）根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，列出方程求出λ的值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=2，向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為150°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|×cos150°=$\sqrt{3}$×2×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-3，
∴${（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$
=3-4×（-3）+4×4
=31；
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{31}$；
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+3λ$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$），
∴（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$）=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$+4λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+3λ²${\overrightarrow}^{2}$=0，
即3-12λ+12λ²=0，
解得λ=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．