Question

17．解答下面兩個(gè)問題：
（Ⅰ）已知復(fù)數(shù)$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，其共軛復(fù)數(shù)為$\overline z$，求$|\frac{1}{z}|+{（\overline z）^2}$；
（Ⅱ）復(fù)數(shù)z₁=2a+1+（1+a²）i，z₂=1-a+（3-a）i，a∈R，若${z_1}+\overline{z_2}$是實(shí)數(shù)，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由復(fù)數(shù)$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，求出$|\frac{1}{z}|$和$（\overline{z}）^{2}$，代入$|\frac{1}{z}|+{（\overline z）^2}$計(jì)算得答案；
（Ⅱ）把z₁，$\overline{{z}_{2}}$代入${z_1}+\overline{z_2}$化簡(jiǎn)，再結(jié)合已知條件即可求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，∴$\overline{z}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$．
∴$|\frac{1}{z}|=|-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i|=\sqrt{{{（-\frac{1}{2}）}^2}+{{（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=1$．
${（\overline z）^2}={（-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i）^2}=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
∴$|\frac{1}{z}|+{（\overline z）^2}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$；
（Ⅱ）${z_1}+{\overline z_2}=2a+1+（1+{a^2}）i+1-a-（3-a）i=a+2+（{a^2}+a-2）i$
∵${z_1}+{\overline z_2}$是實(shí)數(shù)，∴a²+a-2=0，解得a=1，或a=-2，
故a=1，或a=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．