Question

【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)滿足對恒成立．

(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；

(2)若在上恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增；（2）．

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)性即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，確定m的范圍即可．

(1)由，得．

，

則 ，

故在(1，+∞)上單調(diào)遞增．

(2)∵，∴，

即．

設(shè)函數(shù)，

，

∵x>1，∴1+lnx>0，為增函數(shù)，

則．

當2e+m≥0，即m≥-2e時，，則h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，

從而h(x)>h(1)＝0．

當2e+m<0，即m<-2e時，則，

若1<x<x0，；若x>x0，．

從而，這與h(x)>0對恒成立矛盾，故m<-2e不合題意．

綜上，m的取值范圍為[-2e，+∞)．

評分細則：

第(1)問中，函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)計算正確給1分；

第(2)問中，整理得到得1分；必須因式分解得到才能給1分．